拐点和加速点的秘密

01 向左？向右？高尔顿钉板

前几年，一位大学老师的朋友说他在批卷时，会故意对考得好的同学改得严一点，对成绩不好的同学改得松一点。

为什么要这么做呢？因为学校要求学生的分数接近正态分布，为了满足这个标准，不得不这么打分。

学生的成绩在某些时候，确实是自然呈现正态分布的，比如一个划片招生或随机录取的年级，第一次考试时的成绩：

横坐标代表分数段，纵坐标代表该分数段的学生人数，大部分学生集中在中间的水平，少数特别高或者特别低，而且基本对称——这就是统计学中的“正态分布”。

生活中正态分布的场景非常多，比如说人的身高、寿命、血压、很多疾病的分布、测量误差、对某些东西的喜好程度……，为什么大自然这么喜欢正态分布呢？

下图的“高尔顿钉板”是解释正态分布现象的著名实验，将大量弹珠从上面的小口投入，下落的过程中，弹珠遇到钉子会随机选择向左向右滚。

想要落在中间，弹珠需要在几次方向选择中，遇到的“向左”和“向右”的次数相等，而落在最左（右）侧的弹珠，必然每次都出现向左（右）的方向。

我们知道，弹珠遇到钉子向左向右的概率各1/2，所以几次下落后，必然是落在中间的弹珠最多，落在两边的弹珠依次减少，落在最左（右）侧的弹珠占比，只有1/2的n次方。

这就是一个标准的“正态分布”的形成原因，所以它有两个必要条件：

第一，这些个体的选择是随机的，彼此之间没有任何影响，比如划片入学；

第二、影响该结果的多个因素之间是独立无关的，比如弹珠在钉板的上一次方向与下一次方向无关。

正态分布看似好理解，但却导致了很多违背直觉的现象，所以也是一种独特的思维方式和思维模型，所以本文就来聊一聊：

99种思维模型之11：“正态分布”思维模型

02 新产品营销的加速点

很多新产品上市之后，一直不瘟不火，可似乎一夜之间就成为人人都在谈论的热点，销量也爆起来，这中间到底发生了什么？

这就是一个可以用正态分布来解释的现象。

下图是大部分新产品的人群喜好，横坐标是喜好程度，越向右，喜好程度越高，纵坐标是人数，也是呈正态分布，中间态度的人最多，两边的人最少。

不同喜好程度的人，需要不同力度的营销推广手段：最左边是“白送都不要”的人群，任何营销活动都无效；最右边是“看到就会买”的人，只要铺货就可以，中间最多的是看到广告促销后会尝鲜的消费者。

在产品推广中，一开始厂商只会针对最右侧高喜好度的“人群1”，在他们经常出现的地方完成少量铺货即可。

在覆盖了这群人之后，如果得到了正反馈，厂商就会针对“人群2”加大广告或小幅促销投放的力度。

从最右边向中间的过程中，到了“人群2”的阶段，曲线的斜率加大，销量加速增长，这也成为新产品的“加速”点。

因为产品配备的营销资源是有限的，厂商需要综合考虑市场潜力——其实就是“人群2”和“人群3”的总量，决定费用投放的比例，“人群2”是销量上升最快的阶段，也是营销费用投入产出比最高的阶段，到了“人群3”，往往需要大量的促销费用才能提升相应的销量，所以，除非是“重点产品”或者参与双11之类的大促活动，大部分非核心产品的销量巅峰都永远定格在“人群2”这个阶段。

上图的产品销量与营销费用直接相关，但也有一些产品自带传播光环，并不完全依赖营销费用，那就是带有“社交信号”的产品。

最典型的是时尚产品，大部分人使用该产品，一方面是自己喜欢，另一方面也是看到很多人，特别是“圈子里的人”使用，所以产品具有“社交信号”，代表一种小圈子的生活态度。

“社交信号”产品的人群同样是正态分布，但消费者会不会接受产品，不但取决于自身的喜好，还与周围使用者的密度有关。

这个信号导致，有“社交信号”的产品在人群2的阶段，有可能自动加速进入“人群3”，并不一定需要营销费用的同步增长，这就是很多时尚产品，从默默无闻到人人抢购，只要几天时间的原因。

人群2与人群3的过渡阶段，就是这个产品的“引爆点”，可惜很多企业用普通产品的线性增长的思维，没有产能上的提前准备，结果造成长时间缺货，延误了产品销售范围扩大的最佳节点。

不过，并非所有“社交信号”产品都可以引爆“人群3”，能否引爆取决于产品“正态分布”的标准差，这一点，我在《大事件的引爆点》一文中介绍过一个“激活阈值”的理论，有更详细的论述，感兴趣的读者可以看一看这篇文章。

03 产能退出与涨价的加速点

正态分布思维的另一个应用是判断周期行业的产能退出速度，比如猪肉价格。

猪肉价格贵的时候40多元一斤，便宜的时候只有10多元一斤，其波动与养猪场的猪的数量负相关。猪肉的价格下跌是因为供过于求，市场的自发调节机制开始起作用，猪肉价格下降并跌破一些养猪场的成本，迫使这些产能退出市场，肉价越跌，退出的产能越多，当产能退出到一定程度，达到供需平衡点时，就是肉价的拐点，也是养猪场盈利的拐点。

因此，投资养猪股，就要判断猪肉价格向上的拐点，重点是判断产能退出的速度。

很多人在思考这一类问题时，容易陷入“线性思维”，即肉价下降的速度与产能退出的速度匹配，但如果你理解正态分布现象，你就不会犯这个错误。

下图是“农户养殖时代”的养猪产能，横坐标是退出成本，即无法承受亏损的肉价，与该养猪户的养殖成本和机会成本有关，纵坐标是某一成本对应的养殖户数量，因为大部分养猪户养的猪数量差不多，因此可以看成是该成本对应的猪的数量。

产能与退出成本呈现典型的正态分布，大部分农户的退出成本在中部形成一个峰值。右侧“第一档”是在肉价高峰时进入的投机型养殖户，这群人的数量很少；“第二档”是无经验的新养殖户，养殖成本高于平均水平。

左侧的“第五档”是行业最优秀的“养猪能手”，成本最低，数量也最少，“第四档”是对亏损的承受能力强（即机会成本低）的养猪户。

在肉价刚刚下跌时，先去化的是最右侧的第一档产能，他们对利润的期望值太高。

接下来是经验一般、成本较高的第二档养殖户，当第二档产能接近中间时，退出的产能数量开始加速。

所以，如下图所示，猪肉刚刚进入下降周期时，降价幅度很大，只能退出少量产能，到了接近大部分养殖户的退出成本时，只要少量降价，就有大量产能退出。

这种“非线性去产能”的特点，导致肉价需要长时间的“磨底”，投资者往往只看到肉价在底部反复震荡，并没有跌多少，却“看不到”（实际上是因为不调研）产能退出情况，最终丧失信心，卖在黎明之前。

以上是“散养户”时代的产能特征，但在2016年以后，我国养猪行业进入了一个“大养殖场时代”，出现了大量超大规模的专业养殖企业，最大的牧原股份产能超过7000万头猪，而去年全国才出栏6.7亿头。

由于这种规模化养殖企业的成本都很低，导致产能分布从正态分布变成了“对数正态分布”，即峰值从中部向左侧偏移。

很明显，现在的右侧产能分布更平缓，在肉价下降的前期，产能退出速度也更慢，其“加速退出拐点”也更滞后。

而且，这些企业的产能退出不看亏损程度，而看现金流能否支持正常运营，因此，其亏损承受能力大大强于散养户。

结果，相比以前的周期，肉价将在底部徘徊更长的时间，对投资者的耐心和判断力形成更大的考验。

实际上，在经济领域，“对数正态分布”比标准的“正态分布”更常见，其中隐藏着一个古老的现象——马太效应。

04 对数正态分布

假设对“高尔顿钉板”做一个改进，向左的弹珠在遇到下一个钉子时，向左的概率更大，向右则不变，整个分布的峰值就会偏向左侧，仍然是中心向两侧减少，但不完全对称，统计学称之为“对数正态分布”。

为什么要加一个“对数”呢？

“正态分布”中，弹珠最终的位置是每一次选择相加的结果，比如向左+1，向右-1；但在改进的“高尔顿钉板”中，因为每一次的选择与前一次的选择相关，所以不但有加法，还有乘法。

所以，“正态分布”是算术级的变化，而“对数正态分布”是指数级的变化，因为对数可以把乘法“变成”加法，所以，“对数正态分布”也可以对值取自然对数，变成“正态分布”。

“对数正态分布”更符合社会现象。

开头说过，划片招生的学校，学生成绩基本呈“正态分布”，但经过了三年的学习，到了中考的时候，如果这个班没有重新分配过，他们的分数线往往会变成“对数正态分布”。

原因在于，学习不是“加法”而是“乘法”的过程，那些学习成绩好的，有更强的动力去学习，学习成绩差的学生可能因此丧失学习热情而止步不前；另一方面，考试中的满分又限制了超高学习能力的学生的成绩，结果大量的同学会拥挤在较高成绩段，导致峰值往前移。

有一些大学要求老师对学生公平，评估标准就是学生的考试成绩是否偏离正态分布，比如规定高分和低分段的学生比例，为了满足这个公平的要求，就会出现文章开头的打分现象。

有一句话：学霸考100分，是因为试卷只有100分，这个100分的限制到了毕业以后就不存在了。比如你高考多了一分，从非211变成211，你在毕业时的起薪就更高，未来可选择的高薪职位就更多，加薪速度也更快……

最终的结果，就是薪资结构上的“对数正态分布”。

“对数正态分布”的薪资，会产生很多反直觉的现象，比如普通存在的“薪资平均水平”远远高于“薪资中位数”的现象：

正是因为城市的收入呈“对数正态分布”，中位数收入因为低收入人数太多而向低收入偏移，平均收入因为高收入者收入太高，而向高收入偏移。

比打工变化更大的是创业，我在《关于创业的七个“反常识”建议》一文中，介绍了创业企业的资产从“正态分布”到“对数正态分布”，甚至“幂态分布”的过程。

05 总结

一、正态分布的形成有两个必要条件：

1、这些个体的选择是随机的，彼此之间没有任何影响，比如划片入学

2、影响该结果的多个因素之间是独立无关的，比如弹珠在钉板的上一次方向与下一次方向无关

二、正态分布与新产品营销：

1、新产品的人群接受度呈正态分布，中间态度的人最多，两边的人最少。

2、从最右边人群向中间的过程中，到了“人群2”的阶段，曲线的斜率加大，销量加速增长，这也成为新产品的“加速”点。

3、有“社交信号”的产品在人群2的阶段，有可能自动加速进入“人群3”，并不一定需要营销费用的同步增长。

三、正态分布与周期股的投资

1、产能与退出成本呈现典型的正态分布，猪肉刚刚进入下降周期时，降价幅度很大，只能退出少量产能，到了接近大部分养殖户的退出成本时，只要少量降价，就有大量产能退出，这种“非线性去产能”的特点，导致肉价需要长时间的“磨底”。

2、规模化养殖时代，产能分布变成了“对数正态分布”，峰值从中部向左侧偏移，相比以前的周期，肉价将在底部徘徊更长的时间。

四、对数正态分布

1、“正态分布”是算术级的变化，而“对数正态分布”是指数级的变化

2、“对数正态分布”的薪资，会产生很多反直觉的现象，比如“薪资平均水平”远远高于“薪资中位数”

如果把弹珠想象成我们自己，把钉子想象成人生的际遇，向左代表好的结果，向右代表坏的结果，那么真实的社会一定是那个改良过的“概率加成”的“高尔顿钉板”，每把握好一次机遇，对最后的结果都有“乘法”的影响。

所以这个社会大部分有价值的东西，最终都是“对数正态分布”甚至“幂态分布”的。

本文来自微信公众号 “人神公奋”（ID：tongyipaocha），作者：人神共奋，36氪经授权发布。