荒谬！所有微积分课本居然把1/x的原函数说成是ln|x|?

 

好多年没有接触微积分了，最近由于接了一门微积分课，不得不把这些东西都捡起来了。前两天在看教科书“原函数和不定积分”这一节的时候看到，函数1/x在正实数区间的一个原函数是ln(x)，在负实数区间内的一个原函数是ln(-x)。然后，把它们两个统一在一起，可以写出函数1/x的一个原函数是ln|x|，然后再加上一个常数C，就说1/x的原函数或不定积分是 ln|x|+C。我看了总隐隐觉得哪里不妥，因为我觉得 |x| 函数是不光滑的。再仔细想了想，这个说法确实荒谬。理由有下面三条：

 

1） ln|x|+C的在x=0处无定义，更不要说可导，因此说它是1/x在全实数范围的原函数是不对的。当然，1/x本身在x=0处也无定义。

 

2） 这种说法，再和微积分基本定理结合起来，很容易让学生误以为有这样的公式成立：

这个公式对于a,b符号相同的情况是成立的。但对于a负b正，公式左边的积分是发散的，而公式右边却是有限值，此时公式显然是错误的。

 

3） 如果允许x=0豁免导数有定义。那么ln|x|+C根本也没有囊括所有1/x在这种放宽条件下的原函数。其实，该类函数包括：

 

      可以看出，ln|x|+C仅仅是上面给出的函数类里面C₁=C₂的特殊一类函数。

     总之，我认为把1/x的原函数说成是 ln|x|+C是完全不妥的。我的建议是在讨论不定积分或者说原函数时，应该把正实数区域的1/x函数和负实数区域的1/x视为两个不同的函数，其原函数分别是ln(x)+C和ln(-x)+C。应该把0这一点视为两个函数间不可逾越的鸿沟。

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