三维变换矩阵的理解

3D空间中的一个点的坐标，可以用(x,y,z)来表示。

对这个点的坐标变换有三种操作：缩放、平移、旋转。 缩放之后，点的坐标变为(Sx*x,Sy*y,Sz*z);平移之后，点的坐标变为(Tx+x,Ty+y,Tz+z)；旋转会比较麻烦一点，在后边的详细内容中描述。

上面的操作其实可以用矩阵运算来简单的表示，但是用矩阵表示变换的时候会有一个问题：用一个矩阵可以同时表示点的缩放、旋转，但是没办法表示平移了。 此时需要引入一个齐次坐标的表示方法，将点的(x,y,z)坐标表示为(x,y,z,1)。

1.缩放矩阵

点在x、y、z轴的缩放分别为Sx、Sy、Sz，那么缩放可以用下面的矩阵来表示：

(x,y,z,1) * S = (Sx*x,Sy*y,Sz*z,1)

2.旋转矩阵

首先看一下点绕着x、y、z三个坐标轴旋转一定角度时，坐标的表示方法：

用矩阵来表示：

那么当点(x,y,z)绕x、y、z轴分别旋转Rx、Ry、Rz角度时，旋转矩阵R=RxRyRz，得到矩阵如下：

3.平移矩阵

点在x、y、z轴的平移分别为Tx、Ty、Tz，那么缩放可以用下面的矩阵来表示：

(x,y,z,1) * T = (Tx+x,Ty+y,Tz+z,1)

4.综合变换矩阵

综合上边的三个矩阵，可以得到最终的变换矩阵： M=S*R*T

简写为

不同的编译器在内存管理方式上的不同，会导致有的情况下使用行优先的写法较好，有的情况下使用列优先的写法较好。我这边实践的过程中接触的是列优先的写法：

得到这样一个矩阵之后，围绕x、y、z三个轴所做的选择、缩放、平移操作，所影响的矩阵中的位置就一目了然了

4.1左右手系转换

假如我们得到了一个右手坐标系下的变换矩阵，需要把它转换为左手坐标系下的变换矩阵，那么可以将其绕一个平面翻转，假设选择绕xoy平面翻转。

分析一下翻转之后的结果：Tz变为-Tz；Rx变为-Rx；Ry变为-Ry；其他不变。

正弦和余弦函数的曲线：

将这些变化代入上面得到的最终版变换矩阵，可以得到

m02 = -m02; m12 = - m12; m20 = -m20; m21 = -m21; Tz = -Tz

将变换矩阵中这些位置的值都乘以-1，即可得到绕xoy平面翻转之后的左手系变化矩阵。

也可以换一种思路，当用右手系变换矩阵变换完成之后，将坐标沿着xoy平面做个翻转，这个翻转可以用一个缩放矩阵来表示：

M*S 得到新的矩阵，转换为列优先的写法：

也就是说，把第三列都乘以-1就可以了

上面两种思路可以得到等价的坐标系转换结果。