空间
关于空间性质的叙述从咋个改昵称嘛的这篇博客中有所引用。
空间的定义
空间：具有某些内在结构的集合。当不附加结构时，我们一般称为集合，否则称为空间。
下面的描述按空间的叠加程度递进：什么都没附加，称集合，也可以称为空间；附加度量（测度或距离），称度量空间（测度空间或距离空间）；附加线性结构，称线性空间或向量空间；在线性空间上附加范数，称赋范线性空间；在赋范线性空间上附加内积，称内积空间。
空间类型
- Banach空间和Hilbert空间是赋范线性空间中两个概念。赋范线性空间具备完备性（极限的封闭性）时称为Banach空间；赋范线性空间定义内积则为内积空间；Banach空间中定义内积即为Hilbert空间（即完备内积空间），或者完备的线性空间为Hilbert空间。
- Banach空间：完备赋范线性空间。
- Hilbert空间：完备内积空间，内积空间必为线性空间。
- Euclidean空间是Hilbert空间特殊化，Hilbert空间是欧几里得空间的推广，欧几里德空间是定义了内积的有限维线性空间。
空间特性
我们对任何事物的刻画，都要确定其所属空间，才能知道如何来刻画其性质。
下面几点值得记住：
- 度量（更一般的是拓扑）是定义现代分析核心概念（极限、连续等）的基础。
- 对空间抽象和分类的过程中，三个起到核心作用的概念：度量（或距离）、极限（或连续）和线性。
- 度量是用来刻画空间的几何结构，极限（或收敛）是用来刻画空间的分析结构，线性是用来刻画空间的代数结构。
- 现代分析=几何+代数+分析。由于极限是在度量的基础上定义的，常把分析结构看做是度量结构必备的。因此，现代分析=几何+代数。
- 泛函分析的基础建立在集合的两种结构上，一种是代数结构即线性结构，另一种是度量（拓扑）结构。具有度量结构的集合称为度量空间，具有线性结构的集合称为线性空间（或向量空间）。度量空间与线性空间本并不互相包含，二者的交集称为度量线性空间。
基、正交基、双正交基
定义
- 基：如果函数集合所张成的空间中的每个函数都只能用唯一的
{ak}序列表示，则张成空间的函数集合是空间的一组基底。 - 正交基：如果一组基底内的函数两两内积为0，则该组基是正交基，如果还有范数为1就可称为“规范正交基”。
- 双正交基：为了使用内积计算非正交基情况下的
{ak}系数，选取另一组基底，使得选取的基底与对应的原基底正交
上式中带有上飘号的就是构造的集合，没有飘号的是原本的展开集。
矩阵形式
对于线性展开，可以用如下矩阵形式表达：
上式所表达的是“综合”过程，即从ak合成g(x)，而从g(x)推出ak的“展开”过程有：
上式中采用了双正交基的方法，通过内积求ak，由上式也可以看出，如果使用规范正交基，则正交基矩阵的行与列正交。
框架与Riesz基
在一个由函数集合张成的空间中，对于一个展开集，如过每个g(t)都有唯一的展开系数，则该展开集为一个基底，同时该展开集线性无关。但如果对于线性相关的展开集，每个g(t)都能被展开，则称该展开集为一个“框架”。
很明显可以看出，用框架展开函数，会存在不止一种展开系数，并存在展开集和的冗余。
框架的另一种定义方式为，如果存在A,B满足下式，则可数序列phi(k)即可称为一个框架：
从上式中可以看出对框架的要求是展开系数趋势与函数相同。
可见A与B将展开式系数的规范化能量限制住了，如果A=B，则该展开集称为一个紧框架，如果A=B=1，则该紧框架就变成一组正交基。
在信号重构过程中，只有当A,B很接近的时候重构算法才有较好的收敛性，才能获得较小的重构误差。
可以从下面的例子中看出，AB其实代表了在用框架进行展开时的冗余。
上式基本与使用基底展开相同，只有A>1，表示了使用框架展开引入了新的能量，产生了冗余。
关于框架(general frame)与Riesz基之间的关系可以用如下图表表示(更多关于Riesz基和框架关系的论述可以从 框架与Riesz基的比较查看)：
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