课程解读
一、学习目标：
1. 知道平面是一个不加定义的原始概念，初步体会平面的基本属性；会用图形和字母表示平面，并能准确画出两个相交平面的图形。
2. 了解柱体、锥体、台体、球等空间几何体的结构特征，表面积和体积公式。
3. 会用斜二侧画法画空间几何体的直观图，掌握柱、锥、台、球的三视图。
二、重点、难点：
重点：柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式，三视图画法规则及其原理。
难点：柱、锥、台、球的表面积与体积公式的应用，三视图画法规则及其应用。
三、考点分析：
本考点的选择题、填空题难度较低，源于课本的改编题多，注重符号语言、文字语言、图形语言在推理中的运用，注重对空间线面位置和柱、锥、台、球的概念和简单性质的考查。
知识梳理
一、平面
1. 平面的概念
平面和点、直线一样，是构成空间图形的基本元素之一，是一个只描述而不加定义的原始概念。
2. 平面的画法
立体几何中，我们通常画平行四边形来表示平面。
3. 平面的表示方法
通常用一个小写的希腊字母来表示平面。
二、柱、锥、台、球的结构特征
1. 棱柱的结构特征
（1）定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的交线都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底，其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；棱柱中不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线。
（2）准确理解棱柱的概念要注意它的两大特征
a. 有两个面互相平行（底面）
b. 其余各面每相邻两个四边形的公共边都是互相平行的。
（3）棱柱的性质
a. 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
b. 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
c. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
（4）棱柱的分类
a. 按底面多边形的边数分类
底面是三角形、四边形、五边形等的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱等
b. 按侧棱与底面的关系分类
侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。即棱柱
（5）特殊的四棱柱
a. 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；
b. 侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体；
c. 底面是矩形的直平行六面体是长方体；
d. 棱长都相等的长方体是正方体。
2. 棱锥的结构特征
（1）定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
（2）分类
底面为三角形、四边形等的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥等，其中三棱锥又叫四面体。
（3）正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
（4）正棱锥的性质
a. 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；b. 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3. 棱台的结构特征
（1）定义：底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台。
（2）棱台中的有关概念
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段叫做棱台的高；正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高。
（3）正棱台
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。
（4）正棱台的性质
a. 各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形。
b. 两底面以及平行于底面的截面是相似多边形。
c. 两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形。
d. 两底面中心连线、侧棱和两底面外接圆相应的半径组成一个直角梯形。
e. 正棱台的上下底面中心的连线是棱台的一条高。
f. 正四棱台的对角面是等腰梯形。
4. 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
（1）圆柱的结构特征
a. 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面和平面所围成的几何体叫做圆柱。
b. 性质：与圆柱的底面平行的截面是圆；与轴平行的截面是矩形；与轴斜交的截面，如果不与两底面相交，交线是椭圆。
（2）圆锥的结构特征
a. 定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面和平面所围成的几何体叫做圆锥。
b. 性质：与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的锥面是等腰三角形，两个腰都是母线，顶角最大的是轴截面。
圆锥底面半径一般用r来表示，母线长用l来表示，高用h来表示，且
（3）圆台的结构特征
a. 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
b. 性质：平行于底面的截面都是圆。
过轴的截面是全等的等腰梯形。
圆台的母线长都相等，每条母线延长后，都与轴的延长线交于一点。
5. 球
（1）球的结构特征
定义：半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫做球体，简称球。
球心：形成球的半圆的圆心叫做球的球心。
球的半径：连接球面上的两点且通过球心的线段叫做球的直径。
（2）球的截面的性质
，其中r为截面圆的半径，R为球的半径，d为球心O到截面圆的距离。
（3）球面上两点间的距离（球面距离）
经过球面上两点的大圆（即过球心的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点间的球面距离。
6. 三视图
（1）三视图的定义
a. 水平投射面、俯视图：一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图。
b. 直立投射面、主视图：一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面；投射到这个平面内的图形叫做主视图。
c. 侧立投射面、左视图：和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图。
d. 将空间图形向水平投射面、直立投射面、侧立投射面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图。
（2）三视图的画法要求
a. 三视图的主视图、俯视图、左视图分别是人从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。
b. 一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图下面，长度与主视图的长度一样，左视图放在主视图右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样。
c. 记忆口诀：主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽。
d. 在三视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出。
7. 棱柱、棱锥、棱台和球的侧面积、表面积
（1）直棱柱的侧面积、表面积
直棱柱的侧面展开图是矩形，由矩形面积公式可得直棱柱的侧面积公式为
，其中棱柱的高为h，底面多边形的周长为c。棱柱的表面积公式为:
。
（2）正棱锥的侧面积、表面积
正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是正多边形，如果设它的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h’，则正n棱锥的侧面积公式为：
棱锥的表面积公式为：
（3）正棱台的侧面积、表面积
正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形，底面是正多边形，如果设棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a’，周长为c’，斜高为h’，则正n棱台的侧面积公式为
棱台的表面积公式为：
（4）球的表面积公式：
，其中R为球的半径。
（5）圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积公式
①圆柱的侧面展开图为矩形，圆柱的侧面积公式为：
；圆柱的表面积公式为：
(
为底面圆的半径；
是高，即圆柱的母线长)；
②圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的侧面积公式为：
；圆锥的表面积公式为：
(为底面圆的半径；
是圆锥的母线长)；
③圆台侧面展开图形成一个扇环，圆台的侧面积公式为：
；圆台的表面积公式为：
(，
为上下底面圆的半径；是圆锥的母线长)。
8. 柱、锥、台和球的体积
（1）柱体的体积公式
，其中S为柱体（圆柱、棱柱）的底面积，h为高。
，其中r为圆柱的底面圆半径，h为圆柱的高。
（2）锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
，其中r为圆锥的底面圆半径，h为高。
（3）台体的体积公式
，其中S、
分别为台体上、下底面的面积，h为台体的高。
，其中，r、
分别为圆台上、下底面的半径，h为圆台的高。
（4）球体的体积公式
，其中R为球的半径。
典型例题
知识点一：有关柱、锥、台、球的表面积公式的应用
例1. 如图所示，直平行六面体
的侧棱长是
题意分析：如右图，求两个对角面的面积，即求面BDD1B1和面ACC
A的面积，用底面对角线乘以高即可。
解题过程：因AC1是直平行六面体，所以两对角面都是矩形，其侧棱AA1就是矩形的高。
由题意，得AB=
∵BD：AC=2：3，设BD=2x，则AC=3x，在平行四边形ABCD中，
，即
，解得
。
∴BD=
故两个对角面的面积为
和
。
题后思考：平行六面体的表面积的相关运算，即为平行四边形或矩形的面积计算。
例2. 正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.。
题意分析：正三棱锥就是底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥。
解题过程：如图所示，设正三棱锥S—ABC的高为SO，斜高为SD，在Rt△SAO中，∴AO＝SA·cos45°
∵AO＝AD＝
a，∴SA＝a
在Rt△SBD中
SD＝
∴S侧＝·
∴S全＝（＋）a2
题后思考：将文字语言翻译成图形语言，是立几学习的关键。
例3. 已知过球面上
三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且
，求球的表面积。
题意分析：求球的表面积先求出半径R，再代入公式：
即可。
解题过程：设截面圆心为
，连结
，设球半径为
，
则
，
在
中，
，
∴
，∴
，∴
。
题后思考：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球（的）半径之间的关系。
例4. 某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（）
A. 4+4
B.
4+4
C.
D. 12
题意分析：由三视图画出直观图，则问题得以解决。
解题过程：由三视图可知，该几何体是底面边长为2，高为2的正四棱锥，该几何体的直观图如图所示。
设O为正四棱锥底面中心，取BC的中点E，连结SE、OE，则SE为正四棱锥的斜高，又SO=2，OE=1，∴SE=
。
∴该几何体的表面积为：
答案：B
题后思考：对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画三视图。
知识点二：有关柱、锥、台、球的体积公式的应用
例5. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
).
A. 
B.
C. 
D.
题意分析：由三视图可看出此几何体由一个四棱锥（上面），和一个圆柱（下面）组合而成。
解题过程：该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组合而成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为
，四棱锥的底面边长为
，高为
，所以体积为
故该几何体的体积为。
答案：C
题后思考：能由三视图想象得到空间的立体图，并能准确地计算出几何体的体积。
例6. 将半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为（ ）
题意分析：画出直观图，求出圆锥的底面半径和高。
解题过程：设圆锥的底面半径为r，由题意，得
∴
∴圆锥的高
故圆锥的体积
题后思考：求圆锥的体积正确表示出圆锥的底面半径和高是解题的关键。
例7. 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是
)六角螺帽共重
题意分析：由图可知，六角螺帽由一个正六棱柱内挖去一个圆柱而构成。
解题过程：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱的体积之差，即：
所以螺帽的个数为
（个）
答：这堆螺帽大约有252个。
题后思考：求组合体的体积，首先要弄清楚组合体是由哪些简单几何体组合而成，再利用组合的方法求解。
例8. 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径2R。求证：
（1）球的体积等于圆柱的体积的2/3；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。
题意分析：利用球和圆柱的体积公式分别计算出其体积后再进行比较。
解题过程：（1）
（2）
，
题后思考：体积的求解与计算是立体几何学习的重点，也是高考考查的重点和热点，其方法灵活多样。
提分技巧
1. 要注意牢固掌握每种几何体的结构特点，利用它们彼此之间的联系来加强记忆，如棱柱、棱锥、棱台为一类；圆柱、圆锥、圆台为一类；或分成柱体、锥体、台体三类来分别认识。只有对比才能掌握实质和不同，只有联系才能理解共性和个性。
2. 要注意物体的三视图和直观图的关系，注意两者之间的转化，会由物体的三视图作出物体的直观图，同样也应会由物体的直观图画出物体的三视图。
预习导学
一、预习新知
1. 你知道空间中的点、线、面有哪些位置关系吗？
2. 你会画出两个相交的平面吗？三个平面两两相交呢？
二、预习点拨
探究反思：
探究任务一：已知：
、
，
，∥
，
∥（如图所示）
求证：
∥
探究任务二：已知：如图所示，∠BAC和∠B
同步练习（答题时间：45分钟）
1. 不在同一直线上的五个点，最多能确定的平面个数是（ ）个
A. 8
B.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B. 以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台
C. 圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D. 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在的圆的半径等于圆锥底面圆的半径
3. 已知三角形ABC所在平面
外一点P到三角形三边AB、BC、AC的距离相等，那么P在平面内的射影是△ABC的（ ）
A. 外心 B.
内心 C. 重心 D.
垂心
4. 下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）
5. 已知圆柱的侧面展开图矩形的面积为S，底面周长为c，则它的体积是（）
A. 
B. 
C. 
D.
6. 半径为
A. c
cm
7. 已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆）所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的全面积是（）
A. 
B.
C. 
D.
8. 下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
9. 正四棱台
的高是
试题答案
1. C解析：用列举法.
2. A解析：以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体才是圆台，所以B不正确；圆锥仅有一个底面，所以C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在的圆的半径等于圆锥的母线，所以D也不正确。
3. C解析：这个点在三角形内的投影到三个顶点的距离也相等，所以是重心。
4. D。
5. D解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则
，
6. D解析：由图可知，底面圆周长为，所以底面半径为
为等边三角形，过B点作BC垂直SA于C点，则BC为最高点到桌面的距离，所以BC=cm。
7. B
解析：
。
8. A.
9. 解：如图：连结两底面中心O1、O，并连结
和
，过
作
于
，则
为高，
为斜高，
在
中，
cm，
在
中，
cm，
∴
cm
cm
∴棱台的侧棱长为
cm，斜高为，体积为。