《概率论与数理统计》复习重点

1. 随机事件与概率

1．事件的关系   

2．运算规则 （1）

（2）

（3）

（4）

3．概率满足的三条公理及性质：

（1）  （2）

（3）对互不相容的事件，有 （可以取）

（4）   （5）

（6），若，则，

（7）

（8）

4．古典概型：基本事件有限且等可能

5．几何概率

6．条件概率

1. 定义：若，则

2. 乘法公式：

若为完备事件组，，则有

3. 全概率公式：

4. Bayes公式：

7．事件的独立性： 独立  （注意独立性的应用）

第二章　随机变量与概率分布

1. 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）=1

（3）对任意，

2. 连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）；

（2）；（3）对任意，

3. 几个常用随机变量

   名称与记号	分布列或密度	数学期望	方差
   两点分布	，
   二项式分布	，
   Poisson分布
   几何分布
   均匀分布	，
   指数分布
   正态分布

4. 分布函数   ，具有以下性质

（1）；（2）单调非降；（3）右连续；

（4），特别；

（5）对离散随机变量，；

（6）对连续随机变量，为连续函数，且在连续点上，

5. 正态分布的概率计算  以记标准正态分布的分布函数，则有

（1）；（2）；（3）若，则；

（4）以记标准正态分布的上侧分位数，则

6. 随机变量的函数   

（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；

（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则，若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章 随机向量

1. 二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布列，有

（1）；（2）；（3），

2. 二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有

（1）；（2）；（3）；

（4），

3. 二维均匀分布，其中为的面积

4. 二维正态分布，其密度函数（牢记五个参数的含义）且；

5. 二维随机向量的分布函数 有

（1）关于单调非降；（2）关于右连续；

（3）；

（4），，；

（5）；

（6）对二维连续随机向量，

6．随机变量的独立性   独立

1. 离散时 独立

2. 连续时 独立

3. 二维正态分布独立，且

7．随机变量的函数分布

1. 和的分布    的密度

2. 最大最小分布

第四章 随机变量的数字特征

1．期望

(1)离散时 ， ；

(2)连续时，；

(3)二维时，

(4)；（5）；

（6）；

（7）独立时，

2．方差

（1）方差，标准差；

（2）；

（3）；

（4）独立时，

3．协方差

（1）；

（2）；

（3）；

（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；

（5）

4．相关系数    ；有，

5． 阶原点矩， 阶中心矩

第五章 大数定律与中心极限定理

1．Chebyshev不等式    或

2．大数定律

3．中心极限定理   

（1）设随机变量独立同分布，则， 或   或，

（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，有或理解为若，则

第六章 样本及抽样分布

1．总体、样本

1. 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；

2. 样本数字特征：

样本均值（，）；

样本方差（）样本标准差

样本阶原点矩，样本阶中心矩

2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数

3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）

（1）分布 ，其中独立同分布于标准正态分布，若且独立，则；

（2）分布 ，其中且独立；

（3）分布 ，其中且独立，有下面的性质   

4．正态总体的抽样分布

（1）；     （2）；

（3）且与独立；    （4）；

（5），

（6）

第七章 参数估计

1．矩估计：

（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计

2．极大似然估计：

（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max）

3．估计量的评选原则

(1)无偏性：若，则为无偏； (2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效；

4．参数的区间估计（正态）