科普 | π日说π：π能不能被算尽？

导读

不知不觉中，每年一度的π日又悄然临近。2019年，国际数学联盟（IMU）正式向联合国教科文组织（UNESCO）提出申请，并于同年11月由联合国大会通过，将每年的3月14日设为“国际数学日”（The International Day of Mathematics）。

本文字数：3449字

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2024国际数学日官方宣传海报，今年数学日的主题是“游于数”（Playing with Math）。

圆周率π是圆的重要属性之一，也是数学中的一个重要常数，它在数学中广泛应用于几何学、三角学、微积分、代数等领域。此外，在力学、电磁学、宇宙学、密码学、信号处理、图像处理等方面，π也有着不可替代的作用。正因为如此，每当π日临近，总会有人深深地陷入“π将被算尽”的焦虑之中——

某音上总有人为π被算尽而焦虑

所以，问题来了，π究竟能不能被算尽呢？

01

“π”是什么？

π是一个数学常数，我们把它叫做“圆周率”，定义为圆的周长和其直径的比值，其值约等于3.1415926535897......。π是无理数，不能用分数表示（即它的小数部分是无限不循环的）。此外，π还是超越数，即它不是任何有理系数多项式的根。

- Why should you never argue with pi?

- He’s completely irrational!

（图片来源：www.mashupmath.com）

第一位用π专指“圆周率”的数学家是威廉·琼斯。他在1706年出版的《新数学导论》是目前已知最早专门用希腊字母π表示圆周和其直径比例的人。但将这一符号发扬光大的则是数学家莱昂哈德·欧拉。他在1736年出版著作《力学》之后，其他数学家才纷纷开始用π指代圆周率。这里需要特别指出，虽然π的外形比较别致，但其与建筑设计并没有任何关系。

左图：威廉·琼斯，英国数学家，艾萨克·牛顿和爱德蒙·哈雷的密友。皇家学会院士。编辑和出版了牛顿的大量手稿。右图：莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、物理学家、天文学家、地理学家、逻辑学家和工程师。（大数学家的介绍从来都是朴实无华且枯燥）（图片来源：Wikipedia）

这其实也是一个老生常谈的问题，考虑到有的读者可能没有课后复习的习惯，让我们挑几种简单的方法回顾一下。

说到π的计算，大家首先想到的应该就是大名鼎鼎的“割圆术”。割圆术最早由数学家刘徽于大约公元265年创立，之后祖冲之在公元480年利用割圆术计算正12288边形的边长，得到圆周率约等于355/113（即密率）。在之后的八百年内，这都是准确度最高的π估计值。

利用Mathematica，我们可以很直观地演示割圆术的运算过程。

利用割圆法计算圆周率的思路虽然简单，但计算上比较繁琐，尤其是之前相当一段时间内，数学家们都不能像笔者这样买到可以运行Mathematica的电脑。所以这样就需要新的计算思路。

这里给出思路最早由法国科数学家弗朗索瓦·韦达提出。一般认为，韦达的这项工作是欧洲最早的有关无穷项圆周率的公式。这个证明的思路非常简单，利用我们中学的数学知识基本可以完成证明，证明思路就是倍角公式。

等式两边同时除以x，有

这里需要借助一点大学数学的结论，利用极限

我们有

取 x = π/2，我们很容易得到

不过需要特别提醒想要亲自计算的读者，虽然韦达给出的公式看起来十分简洁，但收敛速度非常慢，因此现在基本不会用此公式来计算圆周率。这里推荐一个印度传奇数学家拉马努金给出的公式。

这个无穷级数收敛速度极快，每计算一项可以得到8位精度。之后楚德诺夫斯基兄弟于1987年提出了楚德诺夫斯基公式：

考虑到篇幅有限，纵然有绝妙的证明也很难写下，所以上面两个公式就留给读者朋友自行证明吧。

02

把π算尽的尝试

历史上曾经有人执着地计算π，力图将π算尽。比较有名的是美国印第安纳圆周率法案（Indiana pi bill）。1894年，印第安纳州业余数学家爱德华·古德温坚信自己发现了化圆为方的正确解法。他向州参议员提出一项议案，旨在通过法律形式确立这一“真理”并“授权给印第安纳州免费使用，不收取任何形式专利使用费”。

Arthur E. Hallerberg (1977) Indiana's Squared Circle, Mathematics Magazine,50:3, 136-140.

化圆为方问题

化圆为方是尺规作图的经典问题，与三等分角、倍立方问题并列为尺规作图三大难题。其问题为用尺规做出一个正方形，其面积与一给定的圆形面积相同。

如果假设圆的半径为单位长度1，那么化圆为方问题的本质就是作出长度为单位长度二次根下π倍的线段。

根据古德温的计算，可以得出以下奇怪的结论：“90度角的弦长与弧长之比为7比8，正方形对角线和一边之比为10比7，……直径与周长之比为5/4比4。”这样也就相当于宣布，π=8×4/10=3.2。

Arthur E. Hallerberg (1977) Indiana's Squared Circle, Mathematics Magazine,50:3, 136-140.

之后这个法案先后辗转于金融委员会、沼泽地委员会，最终在教育委员会获得了较好的反响。但这样离谱的法案终于引来了专业人士的干预。普渡大学教授沃尔多恰好来到了印第安纳波利斯。一位当地议员将该法案拿给他，并提出可以向其引荐撰写提案的天才。沃尔多婉拒了这一好意，表示自己已经见过很多疯子（already met as many crazy people as he cared to），所以不想见到更多。随着沃尔多以和各路媒体的干预，该法案最终没有成为正式法律。

左图：普渡大学教授沃尔多（Clarence Abiathar Waldo）；右图：漫画家Rock Island Argus所做的讽刺印第安纳圆周率法案的漫画。（图片来源：图片来源：Wikipedia）

03

究竟能不能把π算尽？

前文提到，π不仅是无理数（无限不循环小数），而且是超越数（不是任何有理系数多项式的根）。所以仅从这些结论，我们就可以得出，π是不可能算尽的。考虑到有同学会心存疑惑，我们可以简单地用英国数学家玛丽·卡特赖特的思路证明一下。证明π是无理数也是剑桥本科“三足凳”数学荣誉考试（Mathematical Tripos）分析I课程的例题之一（Analysis I Examples 4，题12），大家也可以挑战一下。

https://www.dpmms.cam.ac.uk/study/IA/AnalysisI/

首先，对于

我们假设n为非负整数，分部积分，可得

我们有

接下来因为笔者才疏学浅，没有想到什么巧妙的方法，只好用数学归纳法强行求解。取n = 1 和 2，

其中Pn(θ)与Qn(θ)都是由正整数为系数且最高次项不超过2n的多项式，那么Pn(θ)第k次项的系数为

Qn(θ)第k次项的系数为

其中 x!! 为双阶乘，表示不超过这个正整数且与它有相同奇偶性的所有正整数乘积。考虑到sin(π/2) = 1，cos(π/2) = 0，所以令θ = π/2，假设存在正整数a与b满足π/2 = a/b，即π/2为有理数，有

整理后得到

由于Pn(θ)是由正整数为系数且最高次项不超过2n的多项式，所以等式右侧必定为整数。反观等式左侧，n趋近于正无穷时，

而对于In(θ)，在区间[-1,1]时，被积函数取值介于0到1，于是有

所以当n足够大时，方程左侧小于1，这与方程右侧为整数相矛盾，所以原命题“π是无理数”得证。既然π是无理数，所以也就无所谓“算尽”的问题。（至于那些天天讨论“如果圆周率π被算尽的话，会有什么严重后果”的博主，笔者觉得相较于做科普，去印第安纳做议员也许更合适。）

本文来源：“科学大院”公众号（kexuedayuan）。

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