如何高效计算引力场？《张朝阳的物理课》讲解高斯定理和泊松方程的物理应用

选取球壳外的一个球面，球面的半径为r，由于球壳的球对称性，可知半径为r的球面上的引力场大小g都相等；又因为球壳绕任何经过圆心的轴具有旋转对称性，所以引力场只有沿径向方向的分量；又由于引力是吸引力，故引力场方向与球面的法向方向正好相反，最终引力场在半径为r的球面上的通量为：

其中第二个等号利用到了球的表面积公式S=4πr^2。

另外，上节课也介绍了引力场的高斯定理（M是球壳的总质量）：

对比以上两种通量的表达式，马上可以得到某位置处引力场大小g与该位置到球心的距离r的关系：

方向沿径向指向球心。由于一个质量为M的质点在r处产生的引力场大小也是GM/r^2，方向也指向球心，这说明球壳对球壳外质点的引力，确实可以等效地看成是球壳所有质量集中在球心时的引力。

另外，若选取的球面半径r小于球壳的内半径，那么球面内包含的M=0，故g=0，说明球壳内质点感受到的引力为零。可见，这里只通过高斯定理进行简单的推导，就得到了先前通过复杂积分计算才得到的结果，展现出了高斯定理的强大作用。

求解泊松方程得到引力势

上节课利用高斯定理和散度定理，还推导了引力势φ与质量密度ρ的关系，即泊松方程：

现在已知球壳对应的全空间的质量密度ρ(r)是球对称的，若进一步要求无穷远处引力势φ与一个点电荷产生的引力势一样都趋于0，那么球对称的泊松方程的边界条件也是球对称的，于是方程的解φ也是球对称的，记为φ(r)。各点的引力势只与其到球心的距离r有关，而与球坐标的角度无关。先前求解量子力学中氢原子的薛定谔方程时，张朝阳曾经推导了球坐标下拉普拉斯算子的表达式：

将其代入泊松方程，并考虑到体系的球对称性，可得：

仔细观察上述形式的泊松方程，会发现等号左边正是氢原子薛定谔方程关于r的求导项。根据求解氢原子薛定谔方程的经验，只需在方程的等号两边同乘以r，并令u(r)=rφ(r)，即可将方程进一步化简为如下形式：

设球壳的外半径为R，球壳的内半径为R₀，那么ρ(r)在r>R或r<R₀的范围内都为零，即在r>R或r<R₀区域，泊松方程简化为：

这是一个非常简单的微分方程，通过级数解法或直接积分即可解得：

其中c1与c2是积分常数。前面已经规定过无穷远的势能为零，所以对于r>R的区域，c2=0。另外，当r趋于无穷时，r远远大于R，球壳近似成为一个质量为M的质点，引力势趋近于该质点的引力势-GM/r，这说明c1=-GM。于是当r>R时，引力势的表达式为：

而当r<R₀时，若c1不等于零，那么引力势在r=0处发散，并且球壳的泊松方程在r=0处不成立，所以c1=0。于是当r<R₀时，引力势为一个与空间坐标无关的常数：

c2的具体数值，需要通过求解R₀≤r≤R区域的引力势并利用连续性条件来确定。全空间的引力势如下图所示：

引力势随r的依赖关系

上节课还证明了引力场与引力势的关系为：

通过此公式以及刚刚求出的球壳引力势的表达式，可以得到引力场的表达式：

这个结果与用纯粹积分计算和用高斯定理得到的结果完全一致。

张朝阳求解球壳的泊松方程

引力结合能

综上所述，张朝阳已经求解了球体（相当于R₀=0的球壳）的引力势φ(r)，那么当质量为m的质点处在位置r>R时，它感受到球体的引力势能即可直接得出为mφ(r)。但若想要考虑球体自身的引力势能，应该如何计算？ 可以思考这样一个构成球体的过程:首先所有构成球体的质量微元都在无穷远处，然后将它们一个一个从无穷远处移动到球体所在的位置，值得注意的是，球体是逐渐长大的直到半径达到R。所以处在位置r处的质量微元从无穷远移到r处的过程中，它只感受到一个半径为r的球体的引力，而并不是半径为R的完整球体的引力。由此可以计算出球体的引力势能。

除此之外，还可以通过计算所有质量微元对（即一对质量微元组成的系统）之间的引力势能之和来得到整个球体的引力势能：

其中r12是一对质量微元dm1与dm2之间的距离。同样需要注意的是，求和过程中，所有的质量微元对只能计数一次。所以在r2处选定某个质量微元dm2，并计算它对整个球体引力势能的贡献时，不统计dm2参与的所有质量微元对，而只选取其中包含满足r1<r2的dm1的那些微元对来计算。对应上述操作的积分顺序为：

其中积分号下标注的r2，代表该积分只对半径为r2的球体进行积分。根据引力势的定义，方括号[]里的积分结果，正是半径为r2的球体在dm2所处位置r2处的引力势φ(r2)，而求解球壳泊松方程那一节已经给出过球体引力势φ(r)的表达式：

其中，Mr2是半径为r2的球体的质量。之后为了方便书写，使用记号r来替换r2。若假设球体的密度ρ为一个常数，那么有Mr=4/3πr^3ρ，将引力势φ(r)与Mr的表达式代入球体引力势能的计算中：

其中，最后一个等号用到了球体总质量公式M=4/3πR^3ρ。上式表明了拆散球体所有质量微元到无穷远所需要做的功；或者反过来说，当质量微元从无穷远处聚集成一个半径为R、质量为M的球体时，可以释放3GM^2/(5R)的能量，所以这里计算出的球体自身的引力势能的绝对值|E|也被称为引力结合能。它在宇宙学中有重要的应用，例如尘埃气体形成太阳时放出的引力结合能可以用来估算形成太阳所需的时间。

张朝阳计算引力结合能

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。 返回搜狐，查看更多