2018考研《材料力学》笔记（7）弯曲②
弯曲应力
1，纯弯曲与横力弯曲
杆件所受外力系可以简化为作用在形心主惯性平面内的力偶，杆件横截面上剪力为零，弯矩为常量，这种受力情况称为纯弯曲，若杆件横截面上既有弯矩又有剪力，这种受力情况称为横力弯曲或剪力弯曲。
2，中性层与中性轴
杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长也不缩短的一层纵向纤维，称为中性层。中性层与横截面的交线，即横截面鳝正应力为零的各点的连线，称为中性轴。在弹性范围内，当直梁产生平面弯曲时，中性轴通过横截面的形心，且垂直于荷载作用面；中性层的曲率与弯矩间的物理关系为： \frac{1}{\rho\left( x \right)}=\frac{M\left( x \right)}{EI_{z}} \rho\left( x \right) 为变形后中性层曲率半径 ； EI_{z} 杆件的抗弯刚度；轴 z 为横截面的中性轴。
3，梁横截面上的正应力
弯曲正应力分布规律：横截面上任一点处的正应力的大小，与该点至中性轴的距离成正比，中性轴一侧为拉力，一侧为压力。
弯曲正应力公式：横截面上距中性轴为y的任一点正应力为 \sigma=\frac{M}{I_{z}}\cdot y
最大应力为 \sigma_{max}=\frac{M_{max}}{I_{z}}\cdot y_{max}=\frac{M_{max}}{W_{z}}
I_{z} 为横截面对中性轴轴z的惯性矩， W_{z} 为横截面对轴z的抗弯截面系数；
适用范围：（1）均匀连续，各向同性，线弹性条件下小变形的等截面直梁。（2）梁产生平面弯曲。（3）纯弯曲时，正应力公式是精确解，剪切弯曲时，正应力公式为近似解。
4，梁横截面上的切应力
矩形截面梁的切应力：
切应力分布规律：切应力方向与横截面上剪力方向一致，其大小沿截面高度呈抛物线变化。
切应力公式：横截面距中性轴为y的任一点的切应力为 \tau=\frac{F_{S}S_{z}^{*}}{bI_{z}}=\frac{6F_{S}}{bh^{3}}\left( \frac{h^{2}}{4}-y^{2}\right)
\tau_{max}=\frac{F_{S，max}S_{z,max}^{*}}{bI_{z}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{F_{S，max}}{bh}
公式适用范围:（1）均匀连续各向同性线弹性小变形（2）梁产生平面弯曲
工字形截面梁的切应力
切应力分布规律：铅垂切应力主要由腹板承受，方向与截面上剪力方向一致，其大小沿腹板高度呈抛物线变化。
腹板切应力公式: \tau=\frac{F_{S}S_{z}^{*}}{bI_{z}}=\frac{F_{S}}{bI_{z}}\left[ \frac{B}{8}\left( H^{2}-h^{2} \right)+\frac{b}{2}\left( \frac{h^{2}}{4} -y^{2}\right)\right]
B翼缘宽度；b腹板宽度；H工字型截面的高度；h腹板高度；最大切应力发生在腹板中性轴处。
圆形截面梁的最大切应力
最大切应力发生于圆截面中性轴处，计算公式为: \tau=\frac{4}{3}\cdot \frac{F_{S}}{\pi R^{2}}
5，梁的强度条件
（1）弯曲正应力强度条件
\sigma_{max}=\frac{M_{max}}{W_{z}}\leq\left[ \sigma \right]
三类问题：（1）校核强度 （2）设计截面 （3）确定许用载荷
注:若梁的截面上最大拉应力和最大压应力不相等，且材料的拉伸强度极限和压缩强度极限也不相等，则该梁的拉伸强度条件和压缩强度条件应分别得到满足。
（2）弯曲切应力强度条件
\tau_{max}=\frac{F_{S，max}S_{z,max}^{*}}{bI_{z}}\leq\left[ \tau \right]
同样有校核强度，设计截面确定许用载荷三类问题。注：对于受弯曲的细长实体梁，弯曲正应力比弯曲切应力大得多，是主要因素，因此，通常只需进行正应力强度计算。对于短梁或薄壁截面梁等情况，弯曲切应力不可忽略，可先校核正应力强度条件，然后用切应力强度条件进行校核。
