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探秘 JavaScript 世界的神秘数字 1.7976931348623157e+308

1.7976931348623157e+308，这个神秘数字是 JavaScript 能够表示的最大数字。今天我们从这个神秘数字出发，从 IEEE 754 标准推导这些神秘数字是如何计算的。今天出现的神秘数字有 1.7976931348623157e+308、5e-324、9007199254740991、2.220446049250313e-16 和 0.30000000000000004。

Number.MAX_VALUE

JavaScript 的 Number 对象中存储了很多常量，神秘数字 1.7976931348623157e+308 就在其中，打开浏览器 Console，输入 Number.MAX_VALUE，就会得到这个数字：

1.7976931348623157e+308 也就是 1.7976931348623157 \times 10^{308}。

我们今天就来探究这个数字到底是怎么来的。

JavaScript 使用的是 IEEE 754 标准定义的 64 位浮点数，也叫做双精度浮点数。IEEE 754 的 64 位，由三部分组成，分别是：

我们先看看指数部分，指数一共是 11 位，如果全部为 1，则最大能够表示 2^{11} - 1 = 2047。所以指数的范围是 [0, 2047]。但是指数部分有负数，所以定义了一个 偏移量，在 64 位浮点数中，偏移量为 1023（ 2^e - 1，e 为 11)。减去偏移量之后，指数的范围变成了 [-1023, 1024]。

但是指数全为 1 和全为 0 有特殊作用，所以我们可用的指数少了 -1023（对应指数全 0）和 1024（对应指数全 1），范围变成了 [-1022, 1023]。

指数不全为 1 且指数不全为 0 的浮点数称作规约化浮点数。

我们知道 10 进制的 科学计数法中，如 1.7976931348623157 * 10^{308}，小数点前的数字一定是大于 0 的。对于二进制而言也一样，二进制小数点前数字必须大于 0，而二进制世界只有 0 和 1，所以二进制的科学技术法小数点前的数字一定是1，这样我们就可以节省 1 位，52 位尾数部分可以全部用来表示小数点后面数字。

综上，64 位规约化浮点数的公式是这样的：

-1^{sign} \times (1.F)_{2} \times 2^{E-1023} \\

目前已知的条件就可以求出咱们的神秘数字了，想要最大值，指数部分取最大值 1023，尾数全是 1 的话最大，所以我们最大的数字应该是这样的：

我们代入公式，其中 sign 为 0，F 全为 1，E 为 2046：

-1^{sign} \times (1.F)_{2} \times 2^{E-1023} \\

我们用 JavaScript 来验证一下这个值：

(2 ** 53 - 1) * (2 ** 971) // 1.7976931348623157e+308
Number.MAX_VALUE === (2 ** 53 - 1) * (2 ** 971) // true

没问题，1.7976931348623157e+308 这个神秘数字我们终于计算了出来。

刚才没有提符号位，符号位非常简单，0 表示正数，1 表示负数。

特殊值 0，Infinity，NaN

刚才提到了，指数部分全为 1 或者全为 0 会有特殊作用，我们先来看看 3 组特殊值。

0：指数位全 0，尾数位也全是0，则表示 ±0

∞：指数全 1，尾数全 0，则表示 ±∞，也就是 Number.POSITIVE_INFINITY 和 Number.NEGATIVE_INFINITY

NaN：指数全1，尾数不全为 0，则表示非数字 NaN

Number.MIN_VALUE 和非规约数

我们来看一个相对正常的数字 5e-324，这是 Number.MIN_VALUE 的值：

按照上文规约化浮点数的公式，

-1^{sign} \times (1.F)_{2} \times 2^{E-1023} \\

规约化浮点数，指数部分范围 [-1022, 1023]。最小值 E = 1，指数部分为 -1022，尾数部分全为0最小，此时最小值为：

我们用 JavaScript 来验证一下这个值：

2**(-1022) // 2.2250738585072014e-308
Number.MIN_VALUE < 2**(-1022) // true

显然，规约化浮点数的最小值 2.2250738585072014e-308 远大于 5e-324，从已知的信息，我们是无论如何也推导不出 5e-324 的，因为 IEEE 754 还定义了一种特殊的类型，非规约数（denormalized number），这类数字指数部分全为 0，尾数部分不全为 0。

需要特别注意的是，非规约数中，偏移量比规约数偏移量小 1，64 位非规约浮点数偏移量为 1023 - 1 = 1022

公式如下：

-1^{sign} \times (0.F)_{2} \times 2^{E-1022} \\

由于指数部分全为 0，E 为 0，所以指数部分为 -1022，上述公式简化为：

-1^{sign} \times (0.F)_{2} \times 2^{-1022} \\

从公式可以看出，我们可以用非规约数表示更接近 0 的数字。那么我们来看看最小值：指数始终为 -1022，若想要最小，则尾数部分末尾只有 1 个 1 是最小的，如下图所示：

我们代入公式

再来用 JavaScript 来验证一下这个值:

2**(-1074) // 5e-324
Number.MIN_VALUE === 2**(-1074) // true

终于，这个看似正常的 5e-324 是通过不那么正常的公式推导出来的。

小结

上文从求 1.7976931348623157e+308 的思路出发，对 Number.MAX_VALUE 和 Number.MIN_VALUE 进行推导，总结如下：

我们可以把 64 位浮点数分为 3 类：

1、特殊值

2、规约形式的浮点数

指数位不全为 0，且不全为 1，此时偏移量为 1023，指数范围 [-1022, 1023]

-1^{sign} \times (1.F)_{2} \times 2^{E-1023} \\

3、非规约形式的浮点数

指数位全 0，尾数不全为 0，此时偏移量为 1022，指数部分只为 -1022

-1^{sign} \times (0.F)_{2} \times 2^{-1022} \\

还有谁

其实还有几个神秘数字，有了上面的公式，我们都能够推导出来，我们一个个看：

最大安全整数 Number.MAX_SAFE_INTEGER

Number.MAX_SAFE_INTEGER 的值是 9007199254740991，我们分析一下，规约化浮点数，尾数部分有 52 位，最大安全整数应该是小数部分全为 1，指数部分为 52：

用 JavaScript 来验证一下

2**53 - 1 // 9007199254740991
Number.MAX_SAFE_INTEGER === 2**53 - 1 // true

没问题，这个神秘数字 9007199254740991 就是 2^{53} -1

来看看为什么这个数字是最大安全整数，因为如果比这个数更大，尾数位已经全部是 1 了，只能增大指数，所以比 Number.MAX_SAFE_INTEGER 更大的整数是：

是 Number.MAX_SAFE_INTEGER 的 2 倍，所以最大安全整数只能是 9007199254740991

还有一个数字 Number.MIN_SAFE_INTEGER，值为 -9007199254740991，这个就很简单，符号位变为 1，也就是：

Number.MIN_SAFE_INTEGER === - Number.MAX_SAFE_INTEGER // true

最小精度 Number.EPSILON

我们来看看最后一个神秘数字 Number.EPSILON，2.220446049250313e-16 是如何来的。

Number.EPSILON 属性表示 1 与 Number 可表示的大于 1 的最小的浮点数之间的差值。可表示大于 1 的最小浮点数是这样的：

那么根据定义， Number.EPSILON 就是：

用 JavaScript 来验证一下：

2**-52 // 2.220446049250313e-16
Number.EPSILON === 2**-52 // true

没问题，最后一个神秘数字搞定， 2.220446049250313e-16 就是 2^{-52}

回到那道经典题目 “0.1 + 0.2 为什么等于 0.30000000000000004”

(0b1_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_010 
+ 0b11_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_01
).toString(2)

得到结果 10110011001100110011001100110011001100110011001100111 ，共 53 位。这块需要特别注意，规约数小数点左侧默认为 1，现在加法之后多出一位，小数点左侧 +1，变为了 (10)_2，可以理解为 (10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111)_2 这个数字。

小数点需要左移动，指数 +1，变为 1021，尾数需要舍去 1 位，由于尾数为 1，需要进 1，代入公式：

1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2^{1021 - 1023} \\= 10011001100110011001100110011001100110011001100110100* 2^{-2 - 52} \\= 10011001100110011001100110011001100110011001100110100* 2^{-54} \\

用 JavaScript 验证：

0b10011001100110011001100110011001100110011001100110100 * (2**-54) // 0.30000000000000004
0b10011001100110011001100110011001100110011001100110100 * (2**-54) === 0.1 + 0.2 // true

没问题，验证结束。

参考资料

编辑于 2021-09-15 17:46

JavaScript

浮点数

IEEE 754

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