高数技巧 | 驻点、极值点与拐点
一、驻点
一阶导数为零的点。
驻点的求法：计算y ^ { \prime }，令y ^ { \prime } (x_{0})=0,则x_{0}为其驻点。
二、极值点
设函数f(x)在给定的x_{0}的一个小邻域u ( x _ { 0 } , δ )，对于任意x∈u ( x _ { 0 } , δ )，都有f ( x ) \geq f ( x _ { 0 } )，则称x_{0}是f(x)的极小值点；否则为极大值点。极小值点与极大值点统称为极值点。
极值点的必要条件：
令函数f(x)在点x_{0}处可导，且x_{0}是极值点，则f ^ { \prime } ( x )=0
极值存在的充分条件：
极值点的求法：
三、拐点
连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。
拐点存在的必要条件：
拐点存在的充分条件：
拐点的求法：
驻点、极值点与拐点的区别与联系
1、驻点、极值点值的都是函数f(x)的一个横坐标x_{0}，拐点指的是函数y=f(x)图像上的一个点(x_{0},f(x_{0}))；
2、驻点与极值点与一阶导数有关，而拐点与函数的二阶导数有关；
3、拐点是函数图像上凹凸性的分界点。极值点刻画的是函数图像的局部最值问题，而不是图像上的一个点；
4、驻点不一定是极值点，如y=x^{3}在x=0处；
5、极值点不一定是驻点，如y=|x|在x=0处；（对于可导函数，极值点一定是驻点）
6、在可导的情况下，x_{0}不可以既是极值点又是拐点的横坐标；在不可导的情况下，x_{0}可以既是极值点又是拐点的横坐标，如y=|x(x-2)|，(0,0)是拐点，x=0是极值点。
补充
极值点与拐点存在充分条件的定理2
设函数y=f(x)在x_{0}处有连续n（n≥2）阶导数，且f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \cdots = f ^ { ( n - 1 ) } ( x ) = 0，f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) \neq 0
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