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罗素悖论：这就是为什么数学不能拥有一个“所有事物”的集合

抱歉让各位久等！本期“哲园搬运”（不叫“哲园新闻”，我们改叫“哲园搬运”更贴切，搬运国外哲学新闻和哲普文章）先来点烧脑的，以通俗易懂（不含逻辑学符号）的方式，介绍“罗素悖论”。随后会尽快更新“哲园原创”系列！
作者Andy Kiersz试图展示，罗素悖论是由于“朴素集合论”（naive set theory）对“集合”的模糊的、过于开放的定义所导致的；“现代公理化集合论”（modern axiomatic set theory），通过设定诸种限制，比如摒除“自含集合”（self-containing sets），则可以有效避免罗素悖论。

原文链接：

哲园搬运第4期

罗素悖论：这就是为什么数学不能拥有一个“所有事物”的集合

作者：Andy Kiersz（senior quant reporter at Business Insider，曾在芝加哥大学和普渡大学研究数学）
时间：2013年11月25日

对于所谓的“集合”（set）是什么，我们感到有些模糊。

发明“集合论”（set theory）的人同样如此，他们从一个相当模糊的“集合”概念出发，而这种模糊导致了一些严重问题。

数学家Georg Cantor和其他早期集合论者，在如今被我们称为“朴素集合论”（naive set theory）的框架内工作。

他们对于“集合”的定义非常不精确。

根据我们的直觉，“集合”应该是“事物的聚集”（a collection of things），而朴素集合论，基本上就把这一直觉，当作了“集合”的定义。

集合

我们有理由拥护这样一个相当开放的定义。

我们希望“集合”是极其灵活的事物，它们能够在数学的不同部分中起到不同作用。

一个关于变量的有限聚集，比如x、y、z，应该是一个集合。

一个关于数字的无限聚集，比如自然数N = 1，2，3，4，5……应该也是一个集合。

在几何学中，我们希望给定两点之间的所有点的聚集——也就是给定两点之间的线段——成为一个集合。

再复杂点，我们还希望考虑“诸多集合的聚集”（collections of sets）。

上文，我们已经将平面中的一条线段，考虑为一个集合。

因此，在研究关于线段的几何学中，我们分析在一个平面中，所有线段之集合的属性。而这个集合的构成元素【即，线段】，它们本身也是集合。

【注：线段的大集合，由线段构成；而每个线段又是两点之间所有点的小集合。】

集合中的集合

在概率论（probability theory）中，我们将“事件”（events）考虑为诸多结果的集合（sets of outcomes）；所以诸多事件的聚集，也是一个大集合，由其他集合构成。

一旦开始将集合构筑在其他集合【即，大集合套着小集合】，早期集合论者，便开始考虑一个有趣的命题——一个集合能否包括其自身，作为一个成员？【即，自含集合，a self-containing set】

这个难题，很自然地源自我们对“集合”的开放的、朴素的定义。

比如，我们有一个所有自然数的集合。

因此，我们有理由也会有一个“不是自然数的‘所有东西’的集合”（the set of everything that is not a natural number）。

这个集合将会包括相当多的东西：

所有不是自然数的数字，比如-3，1/2，和π。

“披萨”这个词也不是自然数，所以它是集合成员。

加利福利亚州也不是自然数，所以我们也会把它扔进集合。

既然这个集合本身，很显然也不是一个自然数，因为它是一个“不是自然数的‘所有东西’的巨大聚集”，那么，它必然也是它自己这个集合的成员之一【即，它是一个自含集合】。

事实上，基于对“集合”的朴素定义，我们自然会考虑一个“所有事物的集合”（a set of everything），或者一个“所有集合的集合”（a set of all sets）。【二者都是自含集合。】

很自然，本身作为一个集合，“所有集合的集合”必须包括其自身，作为一个元素。

罗素悖论（Russell’s Paradox）

在世纪之交，卓越的分析哲学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell），发现这一概念【即，自含集合】中的一个严重问题，被称为“罗素悖论”。

让我们首先考虑，“所有自含集合的集合”（the set of all sets that contain themselves as elements），称之为“A”。

我们已经见过A的两个成员：

（1）“不是自然数的所有东西的集合”【注：这个巨大的集合包括“披萨”、“加利福尼亚州”，同时，也包括其自身，因为此集合当然也不是自然数】；

（2）“所有集合的集合”【注：此集合自身也是一个集合，所以它包括其自身】。

那么，A是否包括其自身？

一个小难题就出现了，因为两个答案都可以。

（1）如果A包括其自身，那么很好！A会满足“成为A的一个成员”的条件——包括其自身/自含。

（2）如果A不包括其自身，也没问题。如果A不包括其自身，A当然不会满足“成为A的一个成员”的条件。

这是一个不可判定命题（undecidable propersition）：基于我们所知，无法证实或证伪任何一个选项。

不可判定命题，尽管有些让人不舒服，但不足以构成一个悖论，从而完全毁掉一个逻辑系统。

“所有自含集合的集合，是否包括其自身？”（whether or not the set of self-containing sets contains itself），这个问题可以就位于我们系统的范畴之外【即，我们可以不去考虑这个问题，因为不可判定】。

至此，朴素集合论，似乎在别处仍然成立，所以我们似乎OK。

但当我们考虑A的相反项——“所有‘不’自含集合的集合”（the set of all sets that do not contain themselves as elements）——悖论就出现了。

我们称这个集合为“B”。

B是否包括其自身？

现在有麻烦了。

（1）假设B包括其自身作为一个成员。

然而，我们已经将B定义为，“所有‘不’自含集合的集合”（the set of all sets that do not contain themselves）。

所以，如果B包括其自身，那么它就与我们用来定义B的条件矛盾了，所以B不包括其自身。

（2）如果B不包括其自身，它将满足条件，成为它自己的成员之一；所以，B将必须包括其自身！

【简言之，如果B自含，则B将不属于B，则B将不自含，矛盾；如果B不自含，则B将属于B，则B将自含，矛盾。】

我们遇到了一个矛盾：“所有‘不’自含集合的集合”，同时必须既“是”又“不是”自己的一个成员。

这使得朴素集合论自相矛盾（inconsistent）：我们有一个陈述，它必须同时既是真的，又是假的。

这个悖论，以及产生自“自含集合”（sets that contain themselves as members），和产生自巨大的、不充分定义的“所有事物”之集合的其他难题，使得我们必须重新审视“集合”这个概念：它要更加正式，并且基于公理。

现代集合论的公理

现代集合论的诸种公理，非常具体地规定了如何建立“其他集合的集合”（sets of other sets）。

尤其，这些公理立即禁止“一个集合成为其自身的一个成员”【即，自含集合】。

同时，我们对于下述建构也要谨慎得多，比如“不是自然数的‘所有东西’的集合”（the set of everything that is not a natural number）。

我们不会去使用“所有事物”（everything）这种大到没边儿的词，诸如此种集合，必须被构建为诸多下属集合（subsets），而它们又要属于我们已经明确定义的一个更大的集合。

【换言之，上文提到的同时包括非自然数、披萨和加利福尼亚州的大而不当的集合，应该被构建为诸多下属集合：非自然数集合，披萨集合，美国诸州集合；而这些下属集合，又从属于其他更大的集合，比如数字集合，食物集合，各国州省集合。】

所以，我可以定义“不是自然数的‘所有实数’的集合”（the set of all real numbers that are not natural numbers），但是我不能制造一个“不是自然数的‘所有东西’的集合”（a set of "everything" that is not a natural number）。

尽管有这些限制，现代集合论的诸种公理，仍然足够灵活，结合形式逻辑的规则，它们基本上为整个现代数学提供了坚实的基础。

罗素悖论，及其在“现代公理化集合论”（modern axiomatic set theory）中的解决，展现了我们对于数学的理解，如何随着时间而进化和精细化。

我们经常始于某个直觉概念——关于某物是如何运作的——而后我们发现在自己的直觉中，存在某些奇怪和自相矛盾的东西，随后我们会想办法处理这种奇异性，并解决难题。